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更新時(shí)間：2025.06.08
隔板法在排列組合中的應(yīng)用

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在排列組合中， 對(duì)于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中而求裝入 方法數(shù)的問(wèn)題，常用隔板法。 例 1. 求方程 X+Y+Z=10 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。 ［分析］將 10 個(gè)球排成一排，球與球之間形成 9個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板 插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板） ，規(guī)定由隔板分成的左、中、 右三部分的球數(shù)分別為 x、y、z 之值（如下圖）。則隔法與解的個(gè)數(shù)之 間建立了一一對(duì)立關(guān)系，故解的個(gè)數(shù)為 C92=36（個(gè)）。實(shí)際運(yùn)用隔板法 解題時(shí)，在確定球數(shù)、如何插隔板等問(wèn)題上形成了一些技巧。下面舉例 說(shuō)明。 技巧一：添加球數(shù)用隔板法。 ○ ○ ○∣ ○ ○∣○ ○ ○ ○ 例 2. 求方程 X+Y+Z=10 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。 ［分析］注意到 x、y、z 可以為零，故上題解法中的限定 “每空至多插 一塊隔板 ”就不成立了，怎么辦呢？只要添加三個(gè)球，給 x、y、z 各一 個(gè)球。這樣原問(wèn)題就

排列組合捆綁法插空法和插板法

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②所要分的元素必須分完，決不允許有剩余 ; ③參與分元素的每組至少分到 1 個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。 下面再給各位看一道例題： 例 2.有 8個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有 ( )種不同方法 . A.35 B.28 C.21 D.45 【解析】這道題很多同學(xué)錯(cuò)選 C，錯(cuò)誤的原因是直接套用上面所講的“插板 法”，而忽略了“插板法”的適用條件。例2 和例 1 的最大區(qū)別是：例 1 的每組元 素都要求“非空”，而例2 則無(wú)此要求，即可以出現(xiàn)空盒子。 其實(shí)此題還是用“插板法”，只是要做一些小變化，詳解如下：

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